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                            Binomialkoeffizienten.                                                Differenzieren und integrieren mit ganzen Zahlen.

Zum Thema Kombinatorik/Kombinationen: n über k = n°k.

Neben den zur Genüge bekannten  Formeln mal etwas Neues für Leute, die Freude an selbst gefertigten Kurven haben, welche m.Wissens noch in keinem mathematischen Lehrbuch zu sehen sind. Behandelt wird der Begriff Bandbreite einer Kombination von k Zahlen aus einer Menge von  n Zahlen. Erste und letzte Zahl einer Kombination k begrenzen die Bandbreite, auch Intervall genannt. Siehe auch unter "Leseprobe".

Ich weise bescheiden auf das Urheberrecht hin!

Funktion und Differenzenquotienten/Differenzen.

HINWEIS: Das Zeichen "°" bedeutet "über" und

ersetzt die lästige große Klammer.

y   = (n + 1 - x)*(x - 2)°(k - 2)

y'  = (n + 1 - x)*(x - 3)°(k - 3) - 1*(x - 3)°(k - 2)

y''  = (n + 1 - x)*(x - 4)°(k - 4) - 2*(x - 4)°(k - 3)

y''' = (n + 1 - X)*(x - 5)°(k - 5) - 3*(x - 5)°(k - 4)

...      Systematik erkannt?

...

y(k-1) = - (k - 1) = const.

Notwendige Bedingung für (k-2) Nullstellen:

(k-1)*(k-2) = n+1-k;---> leicht zu lösende quadr. Gleichung.

k(1) = 1 + Wurzel aus n; ganzzahlig und positiv.                                        

k(2) = 1 - Wurzel aus n; entfällt, weil negativ.                                           

1. Nullstelle:   x(1) = n - 1*k + 3;

2. Nullstelle:   x(2) = n - 2*k + 5; usw.

Diese Regel gilt allerdings nur für k = 1+Wurzel aus n.

Festlegung: Nullstellen liegen vor, wenn zwei benachbarte y,y',y''... - Werte gleich groß sind. Liegt dagegen  der erste Wert ab y',y''...im positiven, der folgende im negativen Bereich, so ist dies ein Nulldurchgang. Diese Er-scheinung tritt u.v.a. bei 49°6, 49°7 auf.                                                          

Ansonsten: n =  frei wählbar;

k(min) = 3, k(max) <= n/2 und ganzzahlig.

x(min) = k, x(max) = n.

Für die Summenformel fehlt leider das math. Sonderzeichen.

Vorgehen jedoch einfach durch Aufsummieren der y - Werte von

                              x(min) = k  bis  x(max)= n.

Hinweis: Max. 2 Stunden "Arbeit" mit Taschenrechner (nCr-Taste) und MSWorks 3.0 ("Uralt-Lavendel") Tab.- Kalkulation reichen aus, um z.B.für 49°8 alle Berechnungen durchzuführen und die Diagramme zu gestalten.

Als Prämie für's Mitdenken erhalten die ersten 2 Einsender, welche  mir per e-mail oder auf dem Postweg a)die richtigen Tabellenwerte und b) das Diagramm mit Funktionskurve und erster Differenzenkurve für 49°8 zusenden, ein Exemplar meiner Ausarbeitung von 80 Seiten. Ein Tip: Diagramm in "Leseprobe". Anmerkung: Gemessen an den weltweit getätigten Milliarden -  Einsätzen für LOTTO müßte diese Kurve populärer als die Gauß'sche Glockenkurve sein. 

Wer mehrere Beispiele - 9°4; 16°5; 25°6;36°7; bis 81°10 - durchrechnet,wird   von der einfachen Systematik der Nullstellen - Bestimmung überrascht sein.

           Das Rechnen mit natürlichen Zahlen hat schon seinen Reiz!

Der Phantasie freien Lauf lassen. Schach, das königliche Spiel mit seinen 64 Feldern soll beispielhaft sein. Mit den ob. angeführten Formeln und der Bedingung für (k - 2) Nullstellen gelten:

n = 2^64 ; k = 2^32 + 1; x(min) = k; x(max) = n.

y = (2^64 + 1 - x)*(x - 2)°(2^32 - 1)

y' = (2^64 + 1 - x)*(x - 3)°(2^32 - 2) - 1*(x - 3)°(2^32 - 1)

usw.usf.

Eine Funkt-gleichung mit (2^32 - 1) Nullstellen und der Konstanten: -2^32. Und wer gut aufgepaßt hat wird auch herausfinden, bei welchem x - Wert z.B. die millionste Nullstelle zu suchen wäre.

Ob das gut geht? Mir kommen Zweifel. Warum?!

Beispiel: 324°19 = 18^2°(18+1) = k^2°(k+1) = n°(1+Wurzel n) = n°(1+n^0,5)

5.Nullstelle---> y(5) = 85*233°12 - 5*233°13---> laut Formel = 0

Der Rechner CASIO fx-992s zeigt exakt dieses Ergebnis an.

Ein Rechenprogramm, das ich ansonsten nur als exzellent bezeichnen kann,

ermittelt für  beide Summanden zwar den gleichen Betrag von

    3,40611010769227*10^21, jedoch eine Differenz von 5,24288*10^5.

Und dies, obwohl es alle anderen 16 Nullstellen richtig aufzeigt.

Bei 2^12°(2^6+1) = 4096°65 treten diese "Ausrutscher" etwas häufiger auf.

Auch der Taschenrechner leistet sich bei einigen der 63 Nullstellen "Schnitzer".

Nur so ein Gedanke! Ein Prüfprogramm zur Qualität eines Rechners könnte meiner unmaßgeblichen Meinung nach folgende Bedingung beinhalten:

                        Wenn a = b ---> a - b = b - a = 0.

Die Spezialisten sind gefragt. Einfach die ob. Formeln verwenden. Doch die Vertreter in Old Germany schweigen trotz meines Begehrens um Aufklärung. Vielleicht müssen sie in Baton Rouge um Hilfe nachsuchen. Ob ich mal bei der Konkurrenz oder einer Hochschule nachfrage? So groß kann das Problem doch gar nicht sein. Wer ein Rechenprogramm besitzt, kann nun mal folgende Rechnungen für 10000°101,entspr. k^2 über (k+1)durchführen:

594*9399°93= 1,02049060694288*10^228

6*9399°94 =   1,02049060694288*10^228

594*9399°93 - 6*9399°94 = 1,68324348849548*10^212

Dies sind die Daten, welche Mathcad 8 liefert. Von 99 Nullstellen sind rd. 25 Fehlanzeigen, obwohl die jeweiligen beiden Summanden gleichmächtig sind. Erfahrensaustausch wäre interessant.

Weiter geht's mit der Phantasie. Zumindest jede ganze Zahl ist ohne erfaßbaren Rest - also "lupenrein" - quadrierbar.

Mit den ob. Formeln würde z.B.gelten: n = 10^200; k = (10^100+1).

y = (10^200 + 1-x)*(x - 2)°(10^100 - 1);

y' = (10^200 + 1-x)*(x -3)°(10^100 - 2) - 1*(x-3)°(10^100 - 1);

...

y(k-1) = -10^100 = const.

Die 1. Nullstelle: x(1) = (n - k +3) = (10^200 - 10^100 +2).

Auch die Frage nach der 10^50. Nullstelle wäre leicht zu beantworten.

      x(10^50) = 10^200 - 10^50*(10^100+1) + 2*10^50 + 1.

Wo ist die Grenze für diese Berechnungen? Es gibt keine Grenze!

Ich erlaube mir den Spaß, zwei neue Sätze zur Diskussion zu stellen.

1. Binomialkoeffizienten sind differenzier - und integrierbar.

2.Binomialkoeffizienten der Form k^2 über (k+1) enthalten mit ihren   (n-k+1) Intervallen (k-2) Nullstellen sowie die Konstante -(k-1).

Und das alles, weil vor langer Zeit Menschen auf die geniale Idee kamen, die Null in ein Zahlensysterm einzufügen. 






Hinweis: Jeder Punkt der roten Kurve steht für den theoretischen Mengenanteil der entsprechenden Bandbreite an der Gesamtmenge von ca. 14 Mill. dar. Statistiker haben ja nun die Möglichkeit, die tatsächliche Verteilung bei nun-mehr rund 4900 Ziehungen mit den theor. Werten zu vergleichen. Viel Spaß! Die Erscheinungshäufigkeit der einzelnen Zahlen aufzulisten ist Pippifax und hat nur geringe Aussagekraft. Bei Lotto geht es um 6-er Kombinationen!
Anmerkung: Egal, welche Zahlen für n°k verwendet werden; die charakter-istische Form der Kurven verändert sich nur gering. Beim Betrachten der roten Kurve könnte man fast eine Parallele zur geistigen Entwicklung im Leben eines "normalen" Menschen sehen. Eintritt ins Leben bei "k". Je nach Auffassungs-gabe und Lerneifer - beim Nulldurchgang der blauen Kurve, gleich dem Maxi-malwert der grünen Kurve, erreichen beide Eigenschaften ihren Höchstwert - steigt das Wissen bis zum größten Wert der roten Kurve an. Danach folgt der allmähliche Abbau des Wissensvorrats; beim Kurzzeit - Gedächtnis fängt's an. Bei "n" sagt er der Welt "ade".

        Mathe - Formeln können "kalt" sein.  Mathe - Kurven regen  an.                               
Genug der Sentimentalität. Zu gegebener Zeit werden auch die weniger "Begabten" erfahren, wie man diese Kurven selbst gestalten kann. Dazu wird dann eine Seite "neu" eingerichtet. Hinzu kommt dann auch eine Kombina-tions-Kurvenschar - normale und log. Darstellung in einem Diagramm - für Binomial-koeffizienten. Wer nicht so lange warten möchte, kann von mei-nem Angebot unter "Wer bin ich" Gebrauch machen. Mit Nachtrag - erweiterte Bearbeitung dieser Startseite - ist dieses "Machwerk" auf inzwischen 90 Seiten angewachsen.

Randnotiz: Der Knabe da oben jongliert seit langer Zeit immer mit denselben Zahlen. Und nun betrachte man die gestrigen Ziehungszahlen (31.1.09).

                                     Zufall!!!



















Hier nun die o.a. Kombinations - Kurvenschar für 49 über 8. Die Funktions-kurve -rot- und ihre Ableitungen sind der log - Darstellung  zugeordnet. Dem Endpunkt einer Kurve, gleich ihrem Nulldurchgang, entspricht der Maximalwert der  vorhergehenden Kurve. Die Summenkurve - schwarz- ist der Normalskala zugeordnet. Ihren Maximalwert erreicht sie logischerweise am Endpunkt der Bandbreite.                                   

 
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